R. B. Bird, R. E. Stewart, E. N. Lightfoot, Transport Phenomena, 2da ed., John Wiley & Sons, Nueva York, 2002
Un fluido incompresible rotando estacionariamente en y junto a un recipiente forma un perfil parabólico, simétrico respecto del eje de rotación, cuando el último es paralelo a la fuerza gravitatoria y no hay otros campos interviniendo. La obtención de dicho perfil es un ejercicio típico de mecánica de fluidos que involucra el uso de las ecuaciones de Navier-Stokes y continuidad.
R. B. Bird, R. E. Stewart, E. N. Lightfoot, Transport Phenomena, 2da ed., John Wiley & Sons, Nueva York, 2002
En este artículo se proponen tres resoluciones que proveen enfoques diferentes. Una es breve y sencilla, y se basa en observaciones de carácter intuitivo. Muchos problemas de este ámbito pueden resolverse con enfoques simples que evitan la resolución de ecuaciones más complejas, y esta resolución fue propuesta para ejemplificarlo.
La segunda resolución usa la ecuación de Euler-Lagrange del cálculo de variaciones. Provee una demostración del argumento matemático empleado en la primera, y a la vez la generaliza.
La tercera es la aplicación directa de la ecuación de Navier-Stokes generalizada a sistemas de referencia no incerciales. Resulta particularmente cómoda en este contexto.
Despreciando efectos de superficie, el perfil superficial estacionario (\(f(x)\)) queda determinado por la aceleración \( (\mathbf{a}) \) que recibirían las partículas (libres) ubicadas sobre este. Considérese un sistema de referencia no inercial centrado en el eje de rotación y respecto del cual los elementos de fluido permanecen en reposo.
Sobre un dado punto de la superficie el vector área es colineal con \(\mathbf{a}\) debido a que los elementos de fluido permanecen en reposo. Entonces, un vector \(\mathbf{u}\) paralelo a la derivada del perfil será perpendicular a \(\mathbf{a}\), y el producto interior entre ellos será nulo. Denotando por (\(\omega\)) a la velocidad angular del fluido respecto de un sistema de referencia inercial, y (\(g\)) al módulo de la aceleración gravitatoria: \[ \langle \mathbf{u}, \mathbf{a}\rangle = [1,\frac{df(x)}{dx}] [\omega^2 x ,-g]^T = 0 \] donde (\(x\)) representa una coordenada asociada a una dirección perpendicular a la gravedad. Entonces \[\sf \begin{aligned} \int ^x _0 \frac{df(x^\prime)}{dx^\prime}{dx^\prime}&= \int ^x _0 \frac{\omega^2 x^\prime}{g}{dx^\prime}\\ f(x) &= f(0) + \frac{\omega^2 x^2}{2g} \end{aligned} \] Observaciones:
El perfil estará determinado por forma que tome el material cuando la energía potencial del sistema sea mínima. Considérese que el fluido rota alrededor del eje \(y\), se buscará el perfil sobre el plano \(z=0\). El desarrollo será válido para una lámina de fluido de pequeño espesor (en \(z\)), la contribución de esta coordenada será omitida para simplificar expresiones porque no tiene un rol de interés. Dada la simetría del sistema, para trabajar con tres coordenadas espaciales (en vez de dos como aquí) es conveniente usar coordenadas cilíndricas. La correspondiente resolución paso a paso se deja como ejercicio al lector pero como ayuda se proveerán los resultados intermedios y finales. Considerando al material incompresible, se tiene la restricción \[V = \int _0 ^L f(x) dx\] donde \(L\) representa la distancia entre el eje de rotación y un punto de la pared del recipiente que compartan el valor de la coordenada \(y\).
Dado que del vector aceleración sólo nos interesa la dirección, fijaremos arbitrariamente una componente. Fijemos \(y\) considerándola colineal con la fuerza gravitatoria. Podría estudiarse cualquier otra fuerza (o real o ficticia) que haga que la componente no sea nula, en caso de serlo se tendría una superficie vertical y \(f(x)\) no tendría buen comportamiento. El aporte a la energía potencial (de una lámina muy delgada que incluye al eje del cilindro) debido a la componente en \(y\) será \[ E_y = \int _0 ^L \left(\int _0 ^{f(x)}\rho g y dy \right) dx = \frac{\rho g}{2}\int _0 ^L f^2(x)dx \]
Para expresar la contribución a la energía en dirección \(x\), definamos convenientemente a una función \[\phi(x):= - \int _0 ^x a(x^\prime)d x^\prime \] donde \(a\) es una aceleración debida a un origen cualquiera. Por ejemplo, si \(a(r)= \omega^2 r\), se trataría de la aceleración centrífuga y recuperaríamos el caso particular estudiado (¡sólo si se ajustara todo el desarrollo a coordenadas cilíndricas!). \[ E_x = \int _0 ^L \left(\int _0 ^{f(x)}\rho \phi(x) dy \right) dx = \int _0 ^L f(x)\rho \phi(x) dx \] Definiendo \[ F(f(x),\frac{df(x)}{dx},x):= \frac{\rho g}{2}f^2(x)+\rho \phi(x)f(x) + \lambda f(x) \] donde \(\lambda\) es un multiplicador de Lagrange, el problema se reduce a minimizar la funcional \[ S[f] := \int _0 ^L F(f(x),\frac{df(x)}{dx},x) dx \] Esto es equivalente a resolver \[ 0=\frac{\partial F}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f^\prime} \] Es decir \[ 0=\frac{\partial F}{\partial f}= \rho g f(x)+\rho \phi(x)+\lambda \] de donde el perfil queda \( \large f(x)= -\phi(x)/g-\lambda/(g\rho) \). Este perfil es general en tanto que no se especifica la aceleración en \(x\) que puede provenir de cualquier fuerza real o ficticia (representada por una función de buen comportamiento).
La ortogonalidad empleada como base de la demostración anterior resulta inmediata \[\begin{aligned} \langle \mathbf{u}, \mathbf{a}\rangle &= [1,\frac{df(x)}{dx}] [-\frac{d\phi(x)}{dx},-g]^T \\ &=[1,-\frac{1}{g}\frac{d\phi(x)}{dx}] [-\frac{d\phi(x)}{dx},-g]^T = 0 \end{aligned} \] Observaciones:
Cubriendo las tres coordenadas de espacio en coordenadas cilíndricas se obtiene \[\begin{aligned} V &= 2\pi \int _0 ^R f(r) r dr \\ E_z &= \pi \rho g \int _0 ^R f^2(r) r dr \\ E_r &= 2\pi \rho \int _0 ^R \phi(r)f(r) r dr \\ \phi(r) &:= - \int _0 ^r a(r^\prime)d r^\prime \end{aligned} \] Dando como resultado final el perfil \[ f(r)=-\frac{\phi(r)}{g}-\frac{\lambda}{g\rho} \] En el caso de estudio \(a(r)=\omega^2 r\), de donde \[ f(r)=\frac{\omega^2 r^2}{2g}-\frac{\lambda}{g\rho} \] Como se indicó previamente, los pasos intermedios son dejados como ejercicio para el lector.
Si se tiene un sistema de referencia no inercial que, respecto de otro inercial, se mueve a velocidad \(\mathbf V\) y rota con velocidad angular \(\mathbf \Omega\), la ecuación de Navier-Stokes es \[ \rho \frac{\mathrm{D} \mathbf{v}}{\mathrm{D} t} = - \nabla {p} + \mu \, \nabla^2 \mathbf v + \tfrac13 \mu \, \nabla (\nabla\cdot\mathbf{v}) + \rho\mathbf{g} - \rho \left[2\mathbf\Omega\wedge\mathbf v + \mathbf\Omega\wedge(\mathbf\Omega\wedge\mathbf r)+ \frac{\mathrm{d} \mathbf V}{\mathrm{d} t} + \frac{\mathrm{d} \mathbf \Omega}{\mathrm{d} t}\wedge\mathbf r\right] \] Ver este enlace para detalles de notación. La resolución se simplifica si el sistema de referencia es aquel en el que el fluido permanece en reposo (\(\mathbf v =0\)) y un eje (ej. \(z\)) coincide con el eje de rotación (aquí colineal con \(\mathbf g\), el vector de aceleración de la gravedad) . Respecto de un sistema de referencia inercial este sistema no tiene aceleración traslacional, su velocidad angular es constante y la ecuación anterior se simplifica a \[ \mathbf 0 = - \nabla {p} + \rho\mathbf{g} - \rho \mathbf\Omega\wedge(\mathbf\Omega\wedge\mathbf r) \] Por simetría radial los perfiles a una dada altura son idénticos para cualquier plano que contenga al eje \(z\). Esto ayuda a encontrar el perfil, por ejemplo trabajando sobre el pano \(y=0\). Por simplicidad conviene escoger la altura \(z=0\). Entonces, \(\mathbf{r}=[x,0,0]^T\). En tales condiciones la velocidad en el sistema de referencia inicial original será \(\mathbf{u}=[0,u_y,0]^T\).
La velocidad angular es \[ \mathbf\Omega = \frac{\mathbf r \wedge \mathbf u}{r^2}\] La especificación de las condiciones hecha en el párrafo anterior introduce varios ceros lo cual simplifica el cómputo de este producto, resultando \(\mathbf\Omega=[0,0,\frac{xu_y}{r^2}]^T\). Para las posiciones escogidas, \(r=x\), y la velocidad es no nula sólo en la dirección \(y\): \(u_y=u\) (siendo \(u:=|\mathbf u|\)). Entonces, como la velocidad angular del fluido (en el sistema de referencia inercial) es \(\omega = u/r\), entonces \(\mathbf\Omega=[0,0,\omega]^T\).
Incluyendo al último resultado en la ecuación de Navier-Stokes simplificada arriba, calculando los productos cruz y reordenándola se obtiene \[ \nabla {p} = \rho [ x \omega^2 , 0,-g]^T \]
Es decir \[ \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x} = \rho \omega^2 x & \implies &p = \frac{\rho \omega^2}{2}x^2 + f_1(z) \\ \frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g & \implies & p = - \rho g z + f_2(x) \\ \end{cases} \] De donde se deduce que \(p = - \rho g z + \frac{\rho \omega^2}{2}x^2 + p_0\), siendo \(p_0:=p(0,0,0)\).
Considerando que sobre la superficie \(p\) es constante (\(p_s\)) y despejando la altura de la superficie \(z_s\) \[ z_s = \frac{ \omega^2}{2g}x^2 + \frac{p_0-p_s}{\rho g} \]
Esta ecuación sólo es válida para el plano \(y=0\). Pero en cualquier sistema de referencia que se obtenga por una rotación sobre el eje \(z\) se encontrará una expresión análoga. En cualquiera de estos sistemas se cumple que la coordenada usada (aquí \(x\)) resulta ser la distancia radial (\(r\)), por lo que la ecuación anterior puede generalizarse a \[ z_s = \frac{ \omega^2}{2g}r^2 + \frac{p_0-p_s}{\rho g} \]